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Grundlagen der Mechanik – linear-isotrope Elastizität

Dieser Know-how Artikel befasst sich mit den Grundlagen der linear-isotropen Elastizität. Hierbei handelt es sich um das einfachste Materialgesetz, welches bei FEM-Simulationen zum Einsatz kommt. Es eignet sich zur einfachen Beschreibung des Materialverhaltens von Stahl und Kunststoff im linearen Bereich. Zudem ist es die Grundlage für viele weitere Materialmodelle und daher von herausgehobener Bedeutung.

Die Steifigkeit eines Bauteils wird neben der Geometrie maßgeblich durch den Werkstoff bestimmt. Unter der Steifigkeit eines Materials versteht man die Widerstandskraft zur Dehnung unter äußeren Kräften.  Ein Maß hierfür, welches bei FEM-Simulationen zum Einsatz kommt, ist das Elastizitätsmodul (E-Modul). Es beschreibt den Zusammenhang zwischen der technischen Spannung σ und der Dehnung ε im Material. Da es eine Materialkonstante ist, verändert sich, unter der Annahme von konstanter Temperatur und Druck, der Wert des E-Moduls nicht.

Zum Verständnis sind zunächst einige Grundlagen zur Definition der Spannung und Dehnung notwendig. Die Spannung ist definiert als die äußere angreifende Kraft F bezogen auf die Ausgangsfäche A0:

\sigma = \frac{\mathrm{F}}{A_0}

Bei einem runden Querschnitt mit Ausgangsdurchmesser D0  errechnet sich die Grundfläche wie folgt:

A = \frac{\mathrm{\pi \cdot D_0^2}}{4}

Die Dehnung ε beschreibt die relative Längung des Materials und errechnet sich durch die absolute Längenänderung Δl bezogen auf die Ausgangslänge l0.

\epsilon = \frac{\mathrm{\Delta l}}{l_0} =\frac{\mathrm{l_1 - l_0}}{l_0}

In der Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Spannung und Dehnung eines Werkstoffes dargestellt. Solche Spannungs-Dehnungs-Diagramme können in Zugversuchen ermittelt werden und sind die Grundlage zur Ermittlung der Materialkennwerte. Für die linear-isotrope Elastizität ist ausschließlich der lineare Abschnitt der Kurve relevant. Da in diesem Bereich keine Plastizität, also keine bleibende Verformung, auftritt, ist dies auch der elastische Teil des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes. Zur Beschreibung des Graphen in diesem Bereich ist lediglich die Geradensteigung zu bestimmen:

E = \frac{\mathrm{\Delta\sigma}}{\Delta\epsilon}

Der Zusammenhang wird als E-Modul bezeichnet und ist die wichtigste Kennzahl zur Charakterisierung des Materialverhaltens von Werkstoffen.