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Grundlagen der Mechanik – linear-isotrope Elastizität Teil 2

Im ersten Teil über die linear-isotrope Elastizität haben wir bereits die Definition des E-Moduls sowie dessen Anwendung im Hookeschen Gesetz kennengelernt. Zur vollständigen Beschreibung des Materialmodells ist jedoch noch ein weiterer Parameter notwendig: die Querkontraktionszahl ν, auch Poissonzahl genannt.

Unter Querkontraktion versteht man die Eigenschaft eines Werkstoffes bei einer Zug- oder Druckbelastung auch in Querrichtung eine Deformation aufzuweisen. Dieses Phänomen ist mit dem nahezu gleichbleibenden Volumen des Körpers zu begründen. Bei isotropen Werkstoffen, wie z.B. Metallen nimmt das Volumen bei einer Längsdehnung minimal zu. Das heißt die Probe wird zwar quer zur Belastungsrichtung einschnüren, aber nicht so stark, dass die Volumenänderung null ist. Dies wäre beispielsweise bei Gummi der Fall.

Im Allgemeinen Fall muss für alle drei Raumrichtungen eine gesonderte Querkontraktionszahl angegeben werden und berechnet sich beispielhaft bei einem eindimensionalen Spannungszustand in x-Richtung (σxx) wie folgt:

\nu_{xy} = -\frac{\mathrm{\epsilon_{yy}}}{\epsilon_{xx}}

Hierbei beschreibt εyy die Dehnung in y-Richtung und εxx die in Belastungsrichtung aufgebrachte Dehnung. Häufig ist diese allgemeine Betrachtung aber nicht notwendig und die Querkontraktionszahl kann bei homogenen Materialeigenschaften mit folgender Formel berechnet werden:

\nu= -\frac{ \frac{ \Delta d }{ d_0 } }{ \frac{ \Delta l }{ l_0 } }

Wie in der Abbildung zu sehen, bezeichnen l0 die Ausgangslänge und d0 die anfängliche Dicke. Da die Querkontraktionszahl positiv definiert ist und es bei einem positiven Δl (Zug) zu einem negativen Δd (Einschnürung) kommt, muss dem Berechnungsterm ein Minus vorangestellt werden.

Bei linear-isotroper Elastizität kann die Querkontraktionszahl zudem anhand der elastischen Konstanten Elastizitätsmodul E, Kompressionsmodul K und Schubmodul G berechnet werden:

\nu = \frac{E}{2*G} -1 =\frac{3*K-E}{6*K} = \frac{3*K-2*G}{6*K+2*G}